{l}{x+y=56}{4x+2y=90} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 56 } \\ { 4 x + 2 y = 90 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-11$$

$$y=67$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=56,4x+2y=90$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=56$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+56$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+56 चा विकल्प वापरा, 4x+2y=90.

$$4\left(-y+56\right)+2y=90$$

-y+56 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+224+2y=90$$

-4y ते 2y जोडा.

$$-2y+224=90$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 224 वजा करा.

$$-2y=-134$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=67$$

x=-y+56 मध्ये y साठी 67 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-67+56$$

56 ते -67 जोडा.

$$x=-11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-11,y=67$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=56,4x+2y=90$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\90\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\90\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\90\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\90\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\90\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\90\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-56+\frac{1}{2}\times 90\\2\times 56-\frac{1}{2}\times 90\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-11,y=67$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=56,4x+2y=90$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4y=4\times 56,4x+2y=90$$

सरलीकृत करा.

$$4x+4y=224,4x+2y=90$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+4y=224 मधून 4x+2y=90 वजा करा.

$$4x-4x+4y-2y=224-90$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-2y=224-90$$

4y ते -2y जोडा.

$$2y=224-90$$

224 ते -90 जोडा.

$$2y=134$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=67$$

4x+2y=90 मध्ये y साठी 67 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+2\times 67=90$$

67 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+134=90$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 134 वजा करा.

$$4x=-44$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-11,y=67$$