{l}{x+y=45}{18x+120y=6000} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+45$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+45 चा विकल्प वापरा, 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

-y+45 ला 18 वेळा गुणाकार करा.

$$-18y+810+120y=6000$$

-18y ते 120y जोडा.

$$102y+810=6000$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 810 वजा करा.

$$102y=5190$$

दोन्ही बाजूंना 102 ने विभागा.

$$y=\frac{865}{17}$$

x=-y+45 मध्ये y साठी \frac{865}{17} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

45 ते -\frac{865}{17} जोडा.

$$x=-\frac{100}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

x आणि 18x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 18 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

सरलीकृत करा.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x+18y=810 मधून 18x+120y=6000 वजा करा.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$18y-120y=810-6000$$

18y ते -120y जोडा.

$$-102y=810-6000$$

810 ते -6000 जोडा.

$$-102y=-5190$$

दोन्ही बाजूंना -102 ने विभागा.

$$y=\frac{865}{17}$$

18x+120y=6000 मध्ये y साठी \frac{865}{17} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

\frac{865}{17} ला 120 वेळा गुणाकार करा.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{103800}{17} वजा करा.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

दोन्ही बाजूंना 18 ने विभागा.

$$x=-\frac{100}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$