{l}{x+y=15}{250x+80y=2900} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+15$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+15 चा विकल्प वापरा, 250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

-y+15 ला 250 वेळा गुणाकार करा.

$$-250y+3750+80y=2900$$

-250y ते 80y जोडा.

$$-170y+3750=2900$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3750 वजा करा.

$$-170y=-850$$

दोन्ही बाजूंना -170 ने विभागा.

$$y=5$$

x=-y+15 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5+15$$

15 ते -5 जोडा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

x आणि 250x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 250 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

सरलीकृत करा.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 250x+250y=3750 मधून 250x+80y=2900 वजा करा.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

250x ते -250x जोडा. 250x आणि -250x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$250y-80y=3750-2900$$

250y ते -80y जोडा.

$$170y=3750-2900$$

3750 ते -2900 जोडा.

$$170y=850$$

दोन्ही बाजूंना 170 ने विभागा.

$$y=5$$

250x+80y=2900 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$250x+80\times 5=2900$$

5 ला 80 वेळा गुणाकार करा.

$$250x+400=2900$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 400 वजा करा.

$$250x=2500$$

दोन्ही बाजूंना 250 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=5$$