{l}{x+y=140}{x/y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना y ने गुणाकार करा.

$$x=7y$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$x-7y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=140,x-7y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=140$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+140$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+140 चा विकल्प वापरा, x-7y=0.

$$-y+140-7y=0$$

-y ते -7y जोडा.

$$-8y+140=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 140 वजा करा.

$$-8y=-140$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=\frac{35}{2}$$

x=-y+140 मध्ये y साठी \frac{35}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

140 ते -\frac{35}{2} जोडा.

$$x=\frac{245}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना y ने गुणाकार करा.

$$x=7y$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$x-7y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=140,x-7y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना y ने गुणाकार करा.

$$x=7y$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$x-7y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=140,x-7y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=140 मधून x-7y=0 वजा करा.

$$x-x+y+7y=140$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y+7y=140$$

y ते 7y जोडा.

$$8y=140$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=\frac{35}{2}$$

x-7y=0 मध्ये y साठी \frac{35}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

\frac{35}{2} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{245}{2} जोडा.

$$x=\frac{245}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$