{l}{x+y=1004}{0.9x+1.4y=120} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 1004 } \\ { 0.9 x + 1.4 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2571.2$$

$$y=-1567.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=1004,0.9x+1.4y=120$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=1004$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+1004$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+1004 चा विकल्प वापरा, 0.9x+1.4y=120.

$$0.9\left(-y+1004\right)+1.4y=120$$

-y+1004 ला 0.9 वेळा गुणाकार करा.

$$-0.9y+903.6+1.4y=120$$

-\frac{9y}{10} ते \frac{7y}{5} जोडा.

$$0.5y+903.6=120$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 903.6 वजा करा.

$$0.5y=-783.6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=-1567.2$$

x=-y+1004 मध्ये y साठी -1567.2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-1567.2\right)+1004$$

-1567.2 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=1567.2+1004$$

1004 ते 1567.2 जोडा.

$$x=2571.2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2571.2,y=-1567.2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=1004,0.9x+1.4y=120$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1004\\120\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1004\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1004\\120\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.9&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1004\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.4}{1.4-0.9}&-\frac{1}{1.4-0.9}\\-\frac{0.9}{1.4-0.9}&\frac{1}{1.4-0.9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1004\\120\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.8&-2\\-1.8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1004\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.8\times 1004-2\times 120\\-1.8\times 1004+2\times 120\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2571.2\\-1567.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2571.2,y=-1567.2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=1004,0.9x+1.4y=120$$

x आणि \frac{9x}{10} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$0.9x+0.9y=0.9\times 1004,0.9x+1.4y=120$$

सरलीकृत करा.

$$0.9x+0.9y=903.6,0.9x+1.4y=120$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.9x+0.9y=903.6 मधून 0.9x+1.4y=120 वजा करा.

$$0.9x-0.9x+0.9y-1.4y=903.6-120$$

\frac{9x}{10} ते -\frac{9x}{10} जोडा. \frac{9x}{10} आणि -\frac{9x}{10} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.9y-1.4y=903.6-120$$

\frac{9y}{10} ते -\frac{7y}{5} जोडा.

$$-0.5y=903.6-120$$

903.6 ते -120 जोडा.

$$-0.5y=783.6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने गुणाकार करा.

$$y=-1567.2$$

0.9x+1.4y=120 मध्ये y साठी -1567.2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.9x+1.4\left(-1567.2\right)=120$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -1567.2 चा 1.4 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$0.9x-2194.08=120$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2194.08 जोडा.

$$0.9x=2314.08$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.9 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=2571.2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2571.2,y=-1567.2$$