{l}{x+6y=90}{3x+3y=-30} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-30$$

$$y=20$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+6y=90$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$x=-6y+90$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -6y+90 चा विकल्प वापरा, 3x+3y=-30.

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

-6y+90 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-18y+270+3y=-30$$

-18y ते 3y जोडा.

$$-15y+270=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 270 वजा करा.

$$-15y=-300$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$y=20$$

x=-6y+90 मध्ये y साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-6\times 20+90$$

20 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-120+90$$

90 ते -120 जोडा.

$$x=-30$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-30,y=20$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-30,y=20$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

सरलीकृत करा.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+18y=270 मधून 3x+3y=-30 वजा करा.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$18y-3y=270+30$$

18y ते -3y जोडा.

$$15y=270+30$$

270 ते 30 जोडा.

$$15y=300$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=20$$

3x+3y=-30 मध्ये y साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+3\times 20=-30$$

20 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+60=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 60 वजा करा.

$$3x=-90$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-30$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-30,y=20$$