{l}{x+2y=7}{4x+3y=3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+7 चा विकल्प वापरा, 4x+3y=3.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=3$$

-2y+7 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-8y+28+3y=3$$

-8y ते 3y जोडा.

$$-5y+28=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$-5y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=5$$

x=-2y+7 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times 5+7$$

5 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-10+7$$

7 ते -10 जोडा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3$$

सरलीकृत करा.

$$4x+8y=28,4x+3y=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+8y=28 मधून 4x+3y=3 वजा करा.

$$4x-4x+8y-3y=28-3$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-3y=28-3$$

8y ते -3y जोडा.

$$5y=28-3$$

28 ते -3 जोडा.

$$5y=25$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=5$$

4x+3y=3 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+3\times 5=3$$

5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+15=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$4x=-12$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=5$$