{l}{kx-y-k+2=0}{ky+x+2=0} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { k x - y - k + 2 = 0 } \\ { k y + x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1}$$

$$y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$kx-y+2-k=0,x+ky+2=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$kx-y+2-k=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून -k+2 वजा करा.

$$kx-y=k-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$kx=y+k-2$$

दोन्ही बाजूंना k ने विभागा.

$$x=\frac{1}{k}\left(y+k-2\right)$$

y+k-2 ला \frac{1}{k} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{k}y+\frac{k-2}{k}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2+y+k}{k} चा विकल्प वापरा, x+ky+2=0.

$$\frac{1}{k}y+\frac{k-2}{k}+ky+2=0$$

\frac{y}{k} ते ky जोडा.

$$\left(k+\frac{1}{k}\right)y+\frac{k-2}{k}+2=0$$

\frac{k-2}{k} ते 2 जोडा.

$$\left(k+\frac{1}{k}\right)y+3-\frac{2}{k}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3-\frac{2}{k} वजा करा.

$$\left(k+\frac{1}{k}\right)y=-3+\frac{2}{k}$$

दोन्ही बाजूंना k+\frac{1}{k} ने विभागा.

$$y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

x=\frac{1}{k}y+\frac{k-2}{k} मध्ये y साठी \frac{2-3k}{k^{2}+1} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{k}\times \frac{2-3k}{k^{2}+1}+\frac{k-2}{k}$$

\frac{2-3k}{k^{2}+1} ला \frac{1}{k} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2-3k}{k\left(k^{2}+1\right)}+\frac{k-2}{k}$$

\frac{k-2}{k} ते \frac{2-3k}{k\left(k^{2}+1\right)} जोडा.

$$x=\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1},y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$kx-y+2-k=0,x+ky+2=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{kk-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{kk-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{kk-\left(-1\right)}&\frac{k}{kk-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{k^{2}+1}&\frac{1}{k^{2}+1}\\-\frac{1}{k^{2}+1}&\frac{k}{k^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{k^{2}+1}\left(k-2\right)+\frac{1}{k^{2}+1}\left(-2\right)\\\left(-\frac{1}{k^{2}+1}\right)\left(k-2\right)+\frac{k}{k^{2}+1}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1}\\\frac{2-3k}{k^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1},y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$kx-y+2-k=0,x+ky+2=0$$

kx आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना k ने गुणाकार करा.

$$kx-y+2-k=0,kx+kky+k\times 2=0$$

सरलीकृत करा.

$$kx-y+2-k=0,kx+k^{2}y+2k=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून kx-y+2-k=0 मधून kx+k^{2}y+2k=0 वजा करा.

$$kx+\left(-k\right)x-y+\left(-k^{2}\right)y+2-k-2k=0$$

kx ते -kx जोडा. kx आणि -kx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-y+\left(-k^{2}\right)y+2-k-2k=0$$

-y ते -k^{2}y जोडा.

$$\left(-k^{2}-1\right)y+2-k-2k=0$$

-k+2 ते -2k जोडा.

$$\left(-k^{2}-1\right)y+2-3k=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून -3k+2 वजा करा.

$$\left(-k^{2}-1\right)y=3k-2$$

दोन्ही बाजूंना -1-k^{2} ने विभागा.

$$y=-\frac{3k-2}{k^{2}+1}$$

x+ky+2=0 मध्ये y साठी -\frac{3k-2}{1+k^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+k\left(-\frac{3k-2}{k^{2}+1}\right)+2=0$$

-\frac{3k-2}{1+k^{2}} ला k वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{k\left(3k-2\right)}{k^{2}+1}+2=0$$

-\frac{k\left(3k-2\right)}{1+k^{2}} ते 2 जोडा.

$$x+\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2-k^{2}+2k}{1+k^{2}} वजा करा.

$$x=-\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1},y=-\frac{3k-2}{k^{2}+1}$$