{l}{9x+2y=62}{4x+3y=36} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9x+2y=62$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$9x=-2y+62$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

-2y+62 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+62}{9} चा विकल्प वापरा, 4x+3y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

\frac{-2y+62}{9} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

-\frac{8y}{9} ते 3y जोडा.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{248}{9} वजा करा.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=4$$

x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

4 ला -\frac{2}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{62}{9} ते -\frac{8}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

9x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

सरलीकृत करा.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 36x+8y=248 मधून 36x+27y=324 वजा करा.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

36x ते -36x जोडा. 36x आणि -36x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-27y=248-324$$

8y ते -27y जोडा.

$$-19y=248-324$$

248 ते -324 जोडा.

$$-19y=-76$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=4$$

4x+3y=36 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+3\times 4=36$$

4 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+12=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$4x=24$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=4$$