{l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m=1$$

$$n=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9m-13n=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 13n जोडा.

$$9m=13n+22$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

13n+22 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी \frac{13n+22}{9} चा विकल्प वापरा, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

\frac{13n+22}{9} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

\frac{26n}{9} ते 3n जोडा.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{44}{9} वजा करा.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{53}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=-1$$

m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9} मध्ये n साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

-1 ला \frac{13}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{22}{9} ते -\frac{13}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$m=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=1,n=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=1,n=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m आणि 2m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18m-26n=44 मधून 18m+27n=-9 वजा करा.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

18m ते -18m जोडा. 18m आणि -18m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-26n-27n=44+9$$

-26n ते -27n जोडा.

$$-53n=44+9$$

44 ते 9 जोडा.

$$-53n=53$$

दोन्ही बाजूंना -53 ने विभागा.

$$n=-1$$

2m+3n=-1 मध्ये n साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

-1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2m-3=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$2m=2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$m=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=1,n=-1$$