{l}{8x-4y=2}{2x+3y=6} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x-4y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$8x=4y+2$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

4y+2 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+\frac{1}{4} चा विकल्प वापरा, 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

\frac{y}{2}+\frac{1}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

y ते 3y जोडा.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{2} वजा करा.

$$4y=\frac{11}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{8}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4} मध्ये y साठी \frac{11}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{8} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{4} ते \frac{11}{16} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{15}{16}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

8x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 16x-8y=4 मधून 16x+24y=48 वजा करा.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

16x ते -16x जोडा. 16x आणि -16x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-24y=4-48$$

-8y ते -24y जोडा.

$$-32y=4-48$$

4 ते -48 जोडा.

$$-32y=-44$$

दोन्ही बाजूंना -32 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{8}$$

2x+3y=6 मध्ये y साठी \frac{11}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

\frac{11}{8} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{33}{8} वजा करा.

$$2x=\frac{15}{8}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{15}{16}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$