{l}{8k+a=3650}{15k+a=150} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

k, a साठी सोडवा

$$k=-500$$

$$a=7650$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला k विलग करून, k साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8k+a=3650$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून a वजा करा.

$$8k=-a+3650$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

-a+3650 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये k साठी -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} चा विकल्प वापरा, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

-\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} ला 15 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

-\frac{15a}{8} ते a जोडा.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{27375}{4} वजा करा.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$a=7650$$

k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4} मध्ये a साठी 7650 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

7650 ला -\frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1825}{4} ते -\frac{3825}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$k=-500$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-500,a=7650$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k आणि a घटक बाहेर काढा.

$$k=-500,a=7650$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8k+a=3650 मधून 15k+a=150 वजा करा.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

a ते -a जोडा. a आणि -a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8k-15k=3650-150$$

8k ते -15k जोडा.

$$-7k=3650-150$$

3650 ते -150 जोडा.

$$-7k=3500$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$k=-500$$

15k+a=150 मध्ये k साठी -500 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

-500 ला 15 वेळा गुणाकार करा.

$$-7500+a=150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7500 जोडा.

$$a=7650$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-500,a=7650$$