{l}{7x+3y=43}{4x-3y=67} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=-9$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+3y=43$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$7x=-3y+43$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

-3y+43 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+43}{7} चा विकल्प वापरा, 4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

\frac{-3y+43}{7} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

-\frac{12y}{7} ते -3y जोडा.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{172}{7} वजा करा.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{33}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-9$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7} मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

-9 ला -\frac{3}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{43}{7} ते \frac{27}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=-9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=-9$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

सरलीकृत करा.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 28x+12y=172 मधून 28x-21y=469 वजा करा.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

28x ते -28x जोडा. 28x आणि -28x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y+21y=172-469$$

12y ते 21y जोडा.

$$33y=172-469$$

172 ते -469 जोडा.

$$33y=-297$$

दोन्ही बाजूंना 33 ने विभागा.

$$y=-9$$

4x-3y=67 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

-9 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+27=67$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 27 वजा करा.

$$4x=40$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=-9$$