{l}{7x+1y=204}{x+y=24} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 1 y = 204 } \\ { x + y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=30$$

$$y=-6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+y=204,x+y=24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+y=204$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$7x=-y+204$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+204\right)$$

-y+204 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{204}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+204}{7} चा विकल्प वापरा, x+y=24.

$$-\frac{1}{7}y+\frac{204}{7}+y=24$$

-\frac{y}{7} ते y जोडा.

$$\frac{6}{7}y+\frac{204}{7}=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{204}{7} वजा करा.

$$\frac{6}{7}y=-\frac{36}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{6}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{7}y+\frac{204}{7} मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{204}{7}$$

-6 ला -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6+204}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{204}{7} ते \frac{6}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=30$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=30,y=-6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+y=204,x+y=24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-1}&-\frac{1}{7-1}\\-\frac{1}{7-1}&\frac{7}{7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 204-\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{1}{6}\times 204+\frac{7}{6}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=30,y=-6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+y=204,x+y=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x+y=204 मधून x+y=24 वजा करा.

$$7x-x+y-y=204-24$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7x-x=204-24$$

7x ते -x जोडा.

$$6x=204-24$$

204 ते -24 जोडा.

$$6x=180$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=30$$

x+y=24 मध्ये x साठी 30 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$30+y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30 वजा करा.

$$y=-6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=30,y=-6$$