{l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=-2$$

$$b=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7a-10b=-64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10b जोडा.

$$7a=10b-64$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

10b-64 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{10b-64}{7} चा विकल्प वापरा, 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

\frac{10b-64}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

\frac{30b}{7} ते 5b जोडा.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{192}{7} जोडा.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{65}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=5$$

a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7} मध्ये b साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

5 ला \frac{10}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{64}{7} ते \frac{50}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=-2,b=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=-2,b=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

7a आणि 3a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

सरलीकृत करा.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21a-30b=-192 मधून 21a+35b=133 वजा करा.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

21a ते -21a जोडा. 21a आणि -21a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-30b-35b=-192-133$$

-30b ते -35b जोडा.

$$-65b=-192-133$$

-192 ते -133 जोडा.

$$-65b=-325$$

दोन्ही बाजूंना -65 ने विभागा.

$$b=5$$

3a+5b=19 मध्ये b साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$3a+5\times 5=19$$

5 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$3a+25=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 25 वजा करा.

$$3a=-6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$a=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=-2,b=5$$