{l}{6x-2y=4}{y=5x+3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x-2y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$6x=2y+4$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

4+2y ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2+y}{3} चा विकल्प वापरा, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

\frac{2+y}{3} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

-\frac{5y}{3} ते y जोडा.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10}{3} जोडा.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{2}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{19}{2}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} मध्ये y साठी -\frac{19}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{19}{2} चा \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{3} ते -\frac{19}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

6x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -30x+10y=-20 मधून -30x+6y=18 वजा करा.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

-30x ते 30x जोडा. -30x आणि 30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10y-6y=-20-18$$

10y ते -6y जोडा.

$$4y=-20-18$$

-20 ते -18 जोडा.

$$4y=-38$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=-\frac{19}{2}$$

-5x+y=3 मध्ये y साठी -\frac{19}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{19}{2} जोडा.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$