{l}{6x+3y=60}{2x+5y=800} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 60 } \\ { 2 x + 5 y = 800 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{175}{2} = -87\frac{1}{2} = -87.5$$

$$y=195$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+3y=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$6x=-3y+60$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+60\right)$$

-3y+60 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+10 चा विकल्प वापरा, 2x+5y=800.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=800$$

-\frac{y}{2}+10 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-y+20+5y=800$$

-y ते 5y जोडा.

$$4y+20=800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20 वजा करा.

$$4y=780$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=195$$

x=-\frac{1}{2}y+10 मध्ये y साठी 195 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 195+10$$

195 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{195}{2}+10$$

10 ते -\frac{195}{2} जोडा.

$$x=-\frac{175}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{6\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-3\times 2}&\frac{6}{6\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 60-\frac{1}{8}\times 800\\-\frac{1}{12}\times 60+\frac{1}{4}\times 800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{175}{2}\\195\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

6x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$2\times 6x+2\times 3y=2\times 60,6\times 2x+6\times 5y=6\times 800$$

सरलीकृत करा.

$$12x+6y=120,12x+30y=4800$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+6y=120 मधून 12x+30y=4800 वजा करा.

$$12x-12x+6y-30y=120-4800$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-30y=120-4800$$

6y ते -30y जोडा.

$$-24y=120-4800$$

120 ते -4800 जोडा.

$$-24y=-4680$$

दोन्ही बाजूंना -24 ने विभागा.

$$y=195$$

2x+5y=800 मध्ये y साठी 195 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+5\times 195=800$$

195 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+975=800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 975 वजा करा.

$$2x=-175$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{175}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$