{l}{6x+2y=8}{6x-3y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15} \approx 1.266666667$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+2y=8,6x-3y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+2y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$6x=-2y+8$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+8\right)$$

-2y+8 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+4}{3} चा विकल्प वापरा, 6x-3y=7.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)-3y=7$$

\frac{-y+4}{3} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+8-3y=7$$

-2y ते -3y जोडा.

$$-5y+8=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-5y=-1$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} मध्ये y साठी \frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{4}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1}{5} चा -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{1}{15}+\frac{4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{3} ते -\frac{1}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{19}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19}{15},y=\frac{1}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+2y=8,6x-3y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2\times 6}&-\frac{2}{6\left(-3\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-3\right)-2\times 6}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 8+\frac{1}{15}\times 7\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{15}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{19}{15},y=\frac{1}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+2y=8,6x-3y=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+2y=8 मधून 6x-3y=7 वजा करा.

$$6x-6x+2y+3y=8-7$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+3y=8-7$$

2y ते 3y जोडा.

$$5y=8-7$$

8 ते -7 जोडा.

$$5y=1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}$$

6x-3y=7 मध्ये y साठी \frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-3\times \frac{1}{5}=7$$

\frac{1}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-\frac{3}{5}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{5} जोडा.

$$6x=\frac{38}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{19}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19}{15},y=\frac{1}{5}$$