{l}{6x+15y=360}{8x+10y=440} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=50$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+15y=360$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15y वजा करा.

$$6x=-15y+360$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

-15y+360 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{2}+60 चा विकल्प वापरा, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

-\frac{5y}{2}+60 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-20y+480+10y=440$$

-20y ते 10y जोडा.

$$-10y+480=440$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 480 वजा करा.

$$-10y=-40$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

4 ला -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-10+60$$

60 ते -10 जोडा.

$$x=50$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=50,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=50,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

सरलीकृत करा.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 48x+120y=2880 मधून 48x+60y=2640 वजा करा.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

48x ते -48x जोडा. 48x आणि -48x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$120y-60y=2880-2640$$

120y ते -60y जोडा.

$$60y=2880-2640$$

2880 ते -2640 जोडा.

$$60y=240$$

दोन्ही बाजूंना 60 ने विभागा.

$$y=4$$

8x+10y=440 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x+10\times 4=440$$

4 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$8x+40=440$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40 वजा करा.

$$8x=400$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=50$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=50,y=4$$