{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v साठी सोडवा

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला u विलग करून, u साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6u+4v=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4v वजा करा.

$$6u=-4v+5$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

-4v+5 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

इतर समीकरणामध्ये u साठी -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} चा विकल्प वापरा, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-6v ते -8v जोडा.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{2} वजा करा.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} मध्ये v साठी \frac{1}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1}{4} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{6} ते -\frac{1}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$u=\frac{2}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे u आणि v घटक बाहेर काढा.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u आणि 9u समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 54u+36v=45 मधून 54u-48v=24 वजा करा.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

54u ते -54u जोडा. 54u आणि -54u रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36v+48v=45-24$$

36v ते 48v जोडा.

$$84v=45-24$$

45 ते -24 जोडा.

$$84v=21$$

दोन्ही बाजूंना 84 ने विभागा.

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4 मध्ये v साठी \frac{1}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

\frac{1}{4} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$9u-2=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$9u=6$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$u=\frac{2}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$