{l}{50x-y=-50}{35x-y=-70} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x - y = - 50 } \\ { 35 x - y = - 70 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{350}{3} = 116\frac{2}{3} \approx 116.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$50x-y=-50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$50x=y-50$$

दोन्ही बाजूंना 50 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{50}\left(y-50\right)$$

y-50 ला \frac{1}{50} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{50}y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{50}-1 चा विकल्प वापरा, 35x-y=-70.

$$35\left(\frac{1}{50}y-1\right)-y=-70$$

\frac{y}{50}-1 ला 35 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{7}{10}y-35-y=-70$$

\frac{7y}{10} ते -y जोडा.

$$-\frac{3}{10}y-35=-70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 35 जोडा.

$$-\frac{3}{10}y=-35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{10} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{350}{3}$$

x=\frac{1}{50}y-1 मध्ये y साठी \frac{350}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{50}\times \frac{350}{3}-1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{350}{3} चा \frac{1}{50} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{7}{3}-1$$

-1 ते \frac{7}{3} जोडा.

$$x=\frac{4}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}&-\frac{-1}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}\\-\frac{35}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}&\frac{50}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{7}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-50\right)-\frac{1}{15}\left(-70\right)\\\frac{7}{3}\left(-50\right)-\frac{10}{3}\left(-70\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{350}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 50x-y=-50 मधून 35x-y=-70 वजा करा.

$$50x-35x-y+y=-50+70$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$50x-35x=-50+70$$

50x ते -35x जोडा.

$$15x=-50+70$$

-50 ते 70 जोडा.

$$15x=20$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{4}{3}$$

35x-y=-70 मध्ये x साठी \frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$35\times \frac{4}{3}-y=-70$$

\frac{4}{3} ला 35 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{140}{3}-y=-70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{140}{3} वजा करा.

$$-y=-\frac{350}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=\frac{350}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$