{l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z साठी सोडवा

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5y-4z=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4z जोडा.

$$5y=4z-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

4z-1 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{4z-1}{5} चा विकल्प वापरा, -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

\frac{4z-1}{5} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

-\frac{28z}{5} ते 7z जोडा.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{5} वजा करा.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$z=\frac{38}{7}$$

y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5} मध्ये z साठी \frac{38}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{38}{7} चा \frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{5} ते \frac{152}{35} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{29}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि z घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y आणि -7y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -35y+28z=7 मधून -35y+35z=45 वजा करा.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

-35y ते 35y जोडा. -35y आणि 35y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$28z-35z=7-45$$

28z ते -35z जोडा.

$$-7z=7-45$$

7 ते -45 जोडा.

$$-7z=-38$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$z=\frac{38}{7}$$

-7y+7z=9 मध्ये z साठी \frac{38}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

\frac{38}{7} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-7y+38=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 38 वजा करा.

$$-7y=-29$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{29}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$