{l}{5x-y=5}{y=1/5x} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{5}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$5x=y+5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

y+5 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{5}+1 चा विकल्प वापरा, -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

\frac{y}{5}+1 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

-\frac{y}{25} ते y जोडा.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{5} जोडा.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{24}{25} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{5}{24}$$

x=\frac{1}{5}y+1 मध्ये y साठी \frac{5}{24} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{24} चा \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

1 ते \frac{1}{24} जोडा.

$$x=\frac{25}{24}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{5}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{5}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

5x आणि -\frac{x}{5} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -\frac{1}{5} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

सरलीकृत करा.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -x+\frac{1}{5}y=-1 मधून -x+5y=0 वजा करा.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

-x ते x जोडा. -x आणि x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

\frac{y}{5} ते -5y जोडा.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{24}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{5}{24}$$

-\frac{1}{5}x+y=0 मध्ये y साठी \frac{5}{24} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{24} वजा करा.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने गुणाकार करा.

$$x=\frac{25}{24}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$