{l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-4y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$5x=4y-3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

4y-3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{4y-3}{5} चा विकल्प वापरा, 3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

\frac{4y-3}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

\frac{12y}{5} ते -4y जोडा.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{9}{5} जोडा.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{8}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=7$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

7 ला \frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{3}{5} ते \frac{28}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x-4y=-3 मधून 3x-4y=-13 वजा करा.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

-4y ते 4y जोडा. -4y आणि 4y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5x-3x=-3+13$$

5x ते -3x जोडा.

$$2x=-3+13$$

-3 ते 13 जोडा.

$$2x=10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=5$$

3x-4y=-13 मध्ये x साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\times 5-4y=-13$$

5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$15-4y=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$-4y=-28$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=7$$