{l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=30$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+y=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$5x=-y+35$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

-y+35 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{5}+7 चा विकल्प वापरा, 7x+1.1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

-\frac{y}{5}+7 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

-\frac{7y}{5} ते \frac{11y}{10} जोडा.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 49 वजा करा.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{10} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=30$$

x=-\frac{1}{5}y+7 मध्ये y साठी 30 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

30 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-6+7$$

7 ते -6 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=30$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=30$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

5x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

सरलीकृत करा.

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 35x+7y=245 मधून 35x+5.5y=200 वजा करा.

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

35x ते -35x जोडा. 35x आणि -35x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7y-5.5y=245-200$$

7y ते -\frac{11y}{2} जोडा.

$$1.5y=245-200$$

245 ते -200 जोडा.

$$1.5y=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 1.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=30$$

7x+1.1y=40 मध्ये y साठी 30 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+1.1\times 30=40$$

30 ला 1.1 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+33=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 33 वजा करा.

$$7x=7$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=30$$