{l}{5x+9y=40}{3x+7y=3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+9y=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9y वजा करा.

$$5x=-9y+40$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

-9y+40 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{9y}{5}+8 चा विकल्प वापरा, 3x+7y=3.

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

-\frac{9y}{5}+8 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

-\frac{27y}{5} ते 7y जोडा.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{8}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{105}{8}$$

x=-\frac{9}{5}y+8 मध्ये y साठी -\frac{105}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{105}{8} चा -\frac{9}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

8 ते \frac{189}{8} जोडा.

$$x=\frac{253}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+27y=120 मधून 15x+35y=15 वजा करा.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$27y-35y=120-15$$

27y ते -35y जोडा.

$$-8y=120-15$$

120 ते -15 जोडा.

$$-8y=105$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=-\frac{105}{8}$$

3x+7y=3 मध्ये y साठी -\frac{105}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

-\frac{105}{8} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{735}{8} जोडा.

$$3x=\frac{759}{8}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{253}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$