{l}{5x+7y=41}{5x+8y=44} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 41 } \\ { 5 x + 8 y = 44 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+7y=41$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$5x=-7y+41$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+41\right)$$

-7y+41 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-7y+41}{5} चा विकल्प वापरा, 5x+8y=44.

$$5\left(-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}\right)+8y=44$$

\frac{-7y+41}{5} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-7y+41+8y=44$$

-7y ते 8y जोडा.

$$y+41=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 41 वजा करा.

$$y=3$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{5}\times 3+\frac{41}{5}$$

3 ला -\frac{7}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-21+41}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{41}{5} ते -\frac{21}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-7\times 5}&-\frac{7}{5\times 8-7\times 5}\\-\frac{5}{5\times 8-7\times 5}&\frac{5}{5\times 8-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{7}{5}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 41-\frac{7}{5}\times 44\\-41+44\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+7y=41 मधून 5x+8y=44 वजा करा.

$$5x-5x+7y-8y=41-44$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7y-8y=41-44$$

7y ते -8y जोडा.

$$-y=41-44$$

41 ते -44 जोडा.

$$-y=-3$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=3$$

5x+8y=44 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+8\times 3=44$$

3 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+24=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$5x=20$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=3$$