{l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=160$$

$$y=180$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2x+4y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$1020=2060-2x-4y$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$2060-2x-4y=1020$$

दोन्ही बाजूंकडून 2060 वजा करा.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 मिळविण्यासाठी 1020 मधून 2060 वजा करा.

$$-2x-4y=-1040$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+7y=2060$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$5x=-7y+2060$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

-7y+2060 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{5}+412 चा विकल्प वापरा, -2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

-\frac{7y}{5}+412 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

\frac{14y}{5} ते -4y जोडा.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 824 जोडा.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{6}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=180$$

x=-\frac{7}{5}y+412 मध्ये y साठी 180 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

180 ला -\frac{7}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-252+412$$

412 ते -252 जोडा.

$$x=160$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=160,y=180$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2x+4y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$1020=2060-2x-4y$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$2060-2x-4y=1020$$

दोन्ही बाजूंकडून 2060 वजा करा.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 मिळविण्यासाठी 1020 मधून 2060 वजा करा.

$$-2x-4y=-1040$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=160,y=180$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2x+4y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$1020=2060-2x-4y$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$2060-2x-4y=1020$$

दोन्ही बाजूंकडून 2060 वजा करा.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 मिळविण्यासाठी 1020 मधून 2060 वजा करा.

$$-2x-4y=-1040$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10x-14y=-4120 मधून -10x-20y=-5200 वजा करा.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

-10x ते 10x जोडा. -10x आणि 10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

-14y ते 20y जोडा.

$$6y=-4120+5200$$

-4120 ते 5200 जोडा.

$$6y=1080$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=180$$

-2x-4y=-1040 मध्ये y साठी 180 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

180 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-720=-1040$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 720 जोडा.

$$-2x=-320$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=160$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=160,y=180$$