{l}{5x+6y=37}{3x-6y=3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 37 } \\ { 3 x - 6 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+6y=37,3x-6y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+6y=37$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$5x=-6y+37$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+37\right)$$

-6y+37 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{37}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-6y+37}{5} चा विकल्प वापरा, 3x-6y=3.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{37}{5}\right)-6y=3$$

\frac{-6y+37}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{111}{5}-6y=3$$

-\frac{18y}{5} ते -6y जोडा.

$$-\frac{48}{5}y+\frac{111}{5}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{111}{5} वजा करा.

$$-\frac{48}{5}y=-\frac{96}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{48}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{37}{5} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2+\frac{37}{5}$$

2 ला -\frac{6}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-12+37}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{37}{5} ते -\frac{12}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+6y=37,3x-6y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5\left(-6\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-6\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-6\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-6\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{16}&-\frac{5}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 37+\frac{1}{8}\times 3\\\frac{1}{16}\times 37-\frac{5}{48}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+6y=37,3x-6y=3$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 37,5\times 3x+5\left(-6\right)y=5\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$15x+18y=111,15x-30y=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+18y=111 मधून 15x-30y=15 वजा करा.

$$15x-15x+18y+30y=111-15$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$18y+30y=111-15$$

18y ते 30y जोडा.

$$48y=111-15$$

111 ते -15 जोडा.

$$48y=96$$

दोन्ही बाजूंना 48 ने विभागा.

$$y=2$$

3x-6y=3 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-6\times 2=3$$

2 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-12=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$3x=15$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=2$$