{l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+5y=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$5x=-5y+15$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

-5y+15 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+3 चा विकल्प वापरा, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

-y+3 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+12+10y=-2$$

-4y ते 10y जोडा.

$$6y+12=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$6y=-14$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=-\frac{7}{3}$$

x=-y+3 मध्ये y साठी -\frac{7}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

-\frac{7}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

3 ते \frac{7}{3} जोडा.

$$x=\frac{16}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

5x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x+20y=60 मधून 20x+50y=-10 वजा करा.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$20y-50y=60+10$$

20y ते -50y जोडा.

$$-30y=60+10$$

60 ते 10 जोडा.

$$-30y=70$$

दोन्ही बाजूंना -30 ने विभागा.

$$y=-\frac{7}{3}$$

4x+10y=-2 मध्ये y साठी -\frac{7}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

-\frac{7}{3} ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{70}{3} जोडा.

$$4x=\frac{64}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{16}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$