{l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+4y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$5x=-4y-3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

-4y-3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4y-3}{5} चा विकल्प वापरा, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

\frac{-4y-3}{5} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

-\frac{24y}{5} ते 3y जोडा.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{18}{5} जोडा.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{8}{9}$$

x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} मध्ये y साठी -\frac{8}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{8}{9} चा -\frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{3}{5} ते \frac{32}{45} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{1}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

5x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30x+24y=-18 मधून 30x+15y=-10 वजा करा.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

30x ते -30x जोडा. 30x आणि -30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$24y-15y=-18+10$$

24y ते -15y जोडा.

$$9y=-18+10$$

-18 ते 10 जोडा.

$$9y=-8$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$y=-\frac{8}{9}$$

6x+3y=-2 मध्ये y साठी -\frac{8}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

-\frac{8}{9} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{8}{3} जोडा.

$$6x=\frac{2}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$