{l}{5x+3y=-1}{4x+5y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 1 } \\ { 4 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+3y=-1,4x+5y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+3y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$5x=-3y-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-1\right)$$

-3y-1 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y-1}{5} चा विकल्प वापरा, 4x+5y=7.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

\frac{-3y-1}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{4}{5}+5y=7$$

-\frac{12y}{5} ते 5y जोडा.

$$\frac{13}{5}y-\frac{4}{5}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4}{5} जोडा.

$$\frac{13}{5}y=\frac{39}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{1}{5} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{5}\times 3-\frac{1}{5}$$

3 ला -\frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-9-1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{5} ते -\frac{9}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+3y=-1,4x+5y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 5-3\times 4}&\frac{5}{5\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\\-\frac{4}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\left(-1\right)-\frac{3}{13}\times 7\\-\frac{4}{13}\left(-1\right)+\frac{5}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+3y=-1,4x+5y=7$$

5x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right),5\times 4x+5\times 5y=5\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$20x+12y=-4,20x+25y=35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x+12y=-4 मधून 20x+25y=35 वजा करा.

$$20x-20x+12y-25y=-4-35$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-25y=-4-35$$

12y ते -25y जोडा.

$$-13y=-4-35$$

-4 ते -35 जोडा.

$$-13y=-39$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=3$$

4x+5y=7 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+5\times 3=7$$

3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+15=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$4x=-8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=3$$