{l}{5x+(5i)y=100}{(5i)x+(5-10i)y=60+80i} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + ( 5 i ) y = 100 } \\ { ( 5 i ) x + ( 5 - 10 i ) y = 60 + 80 i } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=22-4i$$

$$y=4+2i$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+5iy=100$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5iy वजा करा.

$$5x=-5iy+100$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5iy+100\right)$$

-5iy+100 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-iy+20$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -iy+20 चा विकल्प वापरा, 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i.

$$5i\left(-iy+20\right)+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

-iy+20 ला 5i वेळा गुणाकार करा.

$$5y+100i+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

5y ते \left(5-10i\right)y जोडा.

$$\left(10-10i\right)y+100i=60+80i$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 100i वजा करा.

$$\left(10-10i\right)y=60-20i$$

दोन्ही बाजूंना 10-10i ने विभागा.

$$y=4+2i$$

x=-iy+20 मध्ये y साठी 4+2i विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-i\left(4+2i\right)+20$$

4+2i ला -i वेळा गुणाकार करा.

$$x=2-4i+20$$

20 ते 2-4i जोडा.

$$x=22-4i$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5-10i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\\-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&\frac{5}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\\\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\\\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22-4i\\4+2i\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

5x आणि 5ix समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5i ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$5i\times 5x+5i\times \left(5i\right)y=5i\times 100,5\times \left(5i\right)x+5\left(5-10i\right)y=5\left(60+80i\right)$$

सरलीकृत करा.

$$25ix-25y=500i,25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 25ix-25y=500i मधून 25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i वजा करा.

$$25ix-25ix-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

25ix ते -25ix जोडा. 25ix आणि -25ix रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

-25y ते \left(-25+50i\right)y जोडा.

$$\left(-50+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

500i ते -300-400i जोडा.

$$\left(-50+50i\right)y=-300+100i$$

दोन्ही बाजूंना -50+50i ने विभागा.

$$y=4+2i$$

5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i मध्ये y साठी 4+2i विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5ix+\left(5-10i\right)\left(4+2i\right)=60+80i$$

4+2i ला 5-10i वेळा गुणाकार करा.

$$5ix+\left(40-30i\right)=60+80i$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40-30i वजा करा.

$$5ix=20+110i$$

दोन्ही बाजूंना 5i ने विभागा.

$$x=22-4i$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=22-4i,y=4+2i$$