{l}{44=12k+b}{16=82k+b} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b साठी सोडवा

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$12k+b=44$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$82k+b=16$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला k विलग करून, k साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$12k+b=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$12k=-b+44$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

-b+44 ला \frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये k साठी -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} चा विकल्प वापरा, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

-\frac{b}{12}+\frac{11}{3} ला 82 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

-\frac{41b}{6} ते b जोडा.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{902}{3} वजा करा.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{35}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=\frac{244}{5}$$

k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3} मध्ये b साठी \frac{244}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{244}{5} चा -\frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{3} ते -\frac{61}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$k=-\frac{2}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$12k+b=44$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$82k+b=16$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k आणि b घटक बाहेर काढा.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$12k+b=44$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$82k+b=16$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12k+b=44 मधून 82k+b=16 वजा करा.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

b ते -b जोडा. b आणि -b रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12k-82k=44-16$$

12k ते -82k जोडा.

$$-70k=44-16$$

44 ते -16 जोडा.

$$-70k=28$$

दोन्ही बाजूंना -70 ने विभागा.

$$k=-\frac{2}{5}$$

82k+b=16 मध्ये k साठी -\frac{2}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

-\frac{2}{5} ला 82 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{164}{5} जोडा.

$$b=\frac{244}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$