{l}{4x-5y=7}{2x+3y=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-5y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$4x=5y+7$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

5y+7 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y+7}{4} चा विकल्प वापरा, 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

\frac{5y+7}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

\frac{5y}{2} ते 3y जोडा.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{2} वजा करा.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} मध्ये y साठी -\frac{5}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{5}{11} चा \frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{4} ते -\frac{25}{44} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{13}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

4x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

सरलीकृत करा.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-10y=14 मधून 8x+12y=4 वजा करा.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y-12y=14-4$$

-10y ते -12y जोडा.

$$-22y=14-4$$

14 ते -4 जोडा.

$$-22y=10$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=-\frac{5}{11}$$

2x+3y=1 मध्ये y साठी -\frac{5}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

-\frac{5}{11} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15}{11} जोडा.

$$2x=\frac{26}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{13}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$