{l}{4x-3y=-1}{3x+4y=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{2}{25}=0.08$$

$$y=\frac{11}{25}=0.44$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-3y=-1,3x+4y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-3y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$4x=3y-1$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y-1\right)$$

3y-1 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y-1}{4} चा विकल्प वापरा, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}\right)+4y=2$$

\frac{3y-1}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{4}y-\frac{3}{4}+4y=2$$

\frac{9y}{4} ते 4y जोडा.

$$\frac{25}{4}y-\frac{3}{4}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{4} जोडा.

$$\frac{25}{4}y=\frac{11}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{11}{25}$$

x=\frac{3}{4}y-\frac{1}{4} मध्ये y साठी \frac{11}{25} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{11}{25}-\frac{1}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{25} चा \frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{33}{100}-\frac{1}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{4} ते \frac{33}{100} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2}{25}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{25},y=\frac{11}{25}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-3y=-1,3x+4y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\left(-1\right)+\frac{3}{25}\times 2\\-\frac{3}{25}\left(-1\right)+\frac{4}{25}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}\\\frac{11}{25}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2}{25},y=\frac{11}{25}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-3y=-1,3x+4y=2$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\left(-1\right),4\times 3x+4\times 4y=4\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$12x-9y=-3,12x+16y=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-9y=-3 मधून 12x+16y=8 वजा करा.

$$12x-12x-9y-16y=-3-8$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y-16y=-3-8$$

-9y ते -16y जोडा.

$$-25y=-3-8$$

-3 ते -8 जोडा.

$$-25y=-11$$

दोन्ही बाजूंना -25 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{25}$$

3x+4y=2 मध्ये y साठी \frac{11}{25} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+4\times \frac{11}{25}=2$$

\frac{11}{25} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{44}{25}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{44}{25} वजा करा.

$$3x=\frac{6}{25}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{2}{25}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{25},y=\frac{11}{25}$$