{l}{4x+3y=71}{7x+5y=120} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=17$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=71$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+71$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

-3y+71 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+71}{4} चा विकल्प वापरा, 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

\frac{-3y+71}{4} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

-\frac{21y}{4} ते 5y जोडा.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{497}{4} वजा करा.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने गुणाकार करा.

$$y=17$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4} मध्ये y साठी 17 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

17 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{71}{4} ते -\frac{51}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=17$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=17$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

सरलीकृत करा.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 28x+21y=497 मधून 28x+20y=480 वजा करा.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

28x ते -28x जोडा. 28x आणि -28x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$21y-20y=497-480$$

21y ते -20y जोडा.

$$y=497-480$$

497 ते -480 जोडा.

$$y=17$$

7x+5y=120 मध्ये y साठी 17 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+5\times 17=120$$

17 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+85=120$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 85 वजा करा.

$$7x=35$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=17$$