{l}{4x+3y=2014}{x+2y=1176} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 2014 } \\ { x + 2 y = 1176 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=100$$

$$y=538$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=2014,x+2y=1176$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=2014$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+2014$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+2014\right)$$

-3y+2014 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1007}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{1007}{2} चा विकल्प वापरा, x+2y=1176.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{1007}{2}+2y=1176$$

-\frac{3y}{4} ते 2y जोडा.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1007}{2}=1176$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1007}{2} वजा करा.

$$\frac{5}{4}y=\frac{1345}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=538$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{1007}{2} मध्ये y साठी 538 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 538+\frac{1007}{2}$$

538 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-807+1007}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1007}{2} ते -\frac{807}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=100$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=100,y=538$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=2014,x+2y=1176$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{3}{4\times 2-3}\\-\frac{1}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 2014-\frac{3}{5}\times 1176\\-\frac{1}{5}\times 2014+\frac{4}{5}\times 1176\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\538\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=100,y=538$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=2014,x+2y=1176$$

4x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$4x+3y=2014,4x+4\times 2y=4\times 1176$$

सरलीकृत करा.

$$4x+3y=2014,4x+8y=4704$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+3y=2014 मधून 4x+8y=4704 वजा करा.

$$4x-4x+3y-8y=2014-4704$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-8y=2014-4704$$

3y ते -8y जोडा.

$$-5y=2014-4704$$

2014 ते -4704 जोडा.

$$-5y=-2690$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=538$$

x+2y=1176 मध्ये y साठी 538 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+2\times 538=1176$$

538 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x+1076=1176$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1076 वजा करा.

$$x=100$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=100,y=538$$