{l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=1.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=12.5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+12.5$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

-3y+12.5 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} चा विकल्प वापरा, 3x+3y=10.5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

-\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

-\frac{9y}{4} ते 3y जोडा.

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{75}{8} वजा करा.

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8} मध्ये y साठी \frac{3}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{3}{2} चा -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{25}{8} ते -\frac{9}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=1.5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+3y=12.5 मधून 3x+3y=10.5 वजा करा.

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

4x ते -3x जोडा.

$$x=\frac{25-21}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 12.5 ते -10.5 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

3x+3y=10.5 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\times 2+3y=10.5$$

2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6+3y=10.5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$3y=4.5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=1.5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=1.5$$