{l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y+14=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$4x+3y=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y-14$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

-3y-14 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} चा विकल्प वापरा, 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

-\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

-\frac{3y}{2} ते 5y जोडा.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

-7 ते 16 जोडा.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} मध्ये y साठी -\frac{18}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{18}{7} चा -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{7}{2} ते \frac{27}{14} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{11}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

सरलीकृत करा.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+6y+28=0 मधून 8x+20y+64=0 वजा करा.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-20y+28-64=0$$

6y ते -20y जोडा.

$$-14y+28-64=0$$

28 ते -64 जोडा.

$$-14y-36=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 36 जोडा.

$$-14y=36$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$y=-\frac{18}{7}$$

2x+5y+16=0 मध्ये y साठी -\frac{18}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

-\frac{18}{7} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

-\frac{90}{7} ते 16 जोडा.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{22}{7} वजा करा.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{11}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$