{l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m=-2$$

$$n=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4m+9n=-35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9n वजा करा.

$$4m=-9n-35$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

-9n-35 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी \frac{-9n-35}{4} चा विकल्प वापरा, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

\frac{-9n-35}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

-\frac{27n}{4} ते -8n जोडा.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{105}{4} जोडा.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{59}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=-3$$

m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4} मध्ये n साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-3 ला -\frac{9}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{35}{4} ते \frac{27}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$m=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=-2,n=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=-2,n=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m आणि 3m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

सरलीकृत करा.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12m+27n=-105 मधून 12m-32n=72 वजा करा.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

12m ते -12m जोडा. 12m आणि -12m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$27n+32n=-105-72$$

27n ते 32n जोडा.

$$59n=-105-72$$

-105 ते -72 जोडा.

$$59n=-177$$

दोन्ही बाजूंना 59 ने विभागा.

$$n=-3$$

3m-8n=18 मध्ये n साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-3 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$3m+24=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$3m=-6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$m=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=-2,n=-3$$