{l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला 2x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 ला 2y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y मिळविण्यासाठी -4y आणि -14y एकत्र करा.

$$8x-18y-7x=-36$$

x मिळविण्यासाठी 8x आणि -7x एकत्र करा.

$$x-18y=-36$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-2x-4-7y=-18$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 मिळविण्यासाठी -18 आणि 4 जोडा.

$$-2x-7y=-14$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-18y=-36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18y जोडा.

$$x=18y-36$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -36+18y चा विकल्प वापरा, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-36+18y ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-36y+72-7y=-14$$

-36y ते -7y जोडा.

$$-43y+72=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 72 वजा करा.

$$-43y=-86$$

दोन्ही बाजूंना -43 ने विभागा.

$$y=2$$

x=18y-36 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=18\times 2-36$$

2 ला 18 वेळा गुणाकार करा.

$$x=36-36$$

-36 ते 36 जोडा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला 2x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 ला 2y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y मिळविण्यासाठी -4y आणि -14y एकत्र करा.

$$8x-18y-7x=-36$$

x मिळविण्यासाठी 8x आणि -7x एकत्र करा.

$$x-18y=-36$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-2x-4-7y=-18$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 मिळविण्यासाठी -18 आणि 4 जोडा.

$$-2x-7y=-14$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला 2x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 ला 2y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y मिळविण्यासाठी -4y आणि -14y एकत्र करा.

$$8x-18y-7x=-36$$

x मिळविण्यासाठी 8x आणि -7x एकत्र करा.

$$x-18y=-36$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-2x-4-7y=-18$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 मिळविण्यासाठी -18 आणि 4 जोडा.

$$-2x-7y=-14$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

सरलीकृत करा.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x+36y=72 मधून -2x-7y=-14 वजा करा.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

-2x ते 2x जोडा. -2x आणि 2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36y+7y=72+14$$

36y ते 7y जोडा.

$$43y=72+14$$

72 ते 14 जोडा.

$$43y=86$$

दोन्ही बाजूंना 43 ने विभागा.

$$y=2$$

-2x-7y=-14 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-7\times 2=-14$$

2 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-14=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 14 जोडा.

$$-2x=0$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=2$$