{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=20$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$30x+15y=675$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15y वजा करा.

$$30x=-15y+675$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

-15y+675 ला \frac{1}{30} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+45}{2} चा विकल्प वापरा, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

\frac{-y+45}{2} ला 42 वेळा गुणाकार करा.

$$-21y+945+20y=940$$

-21y ते 20y जोडा.

$$-y+945=940$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 945 वजा करा.

$$-y=-5$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

5 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{45}{2} ते -\frac{5}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=20$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=20,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=20,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x आणि 42x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 42 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 30 ने गुणाकार करा.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

सरलीकृत करा.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 1260x+630y=28350 मधून 1260x+600y=28200 वजा करा.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x ते -1260x जोडा. 1260x आणि -1260x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$630y-600y=28350-28200$$

630y ते -600y जोडा.

$$30y=28350-28200$$

28350 ते -28200 जोडा.

$$30y=150$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$y=5$$

42x+20y=940 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$42x+20\times 5=940$$

5 ला 20 वेळा गुणाकार करा.

$$42x+100=940$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 100 वजा करा.

$$42x=840$$

दोन्ही बाजूंना 42 ने विभागा.

$$x=20$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=20,y=5$$