{l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y-7x=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7x जोडा.

$$3y=7x-9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

7x-9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{7x}{3}-3 चा विकल्प वापरा, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

\frac{7x}{3}-3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

\frac{14x}{3} ते 5x जोडा.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$\frac{29}{3}x=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{29}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=3$$

y=\frac{7}{3}x-3 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

3 ला \frac{7}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=7-3$$

-3 ते 7 जोडा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y आणि 2y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

सरलीकृत करा.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y-14x=-18 मधून 6y+15x=69 वजा करा.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-14x-15x=-18-69$$

-14x ते -15x जोडा.

$$-29x=-18-69$$

-18 ते -69 जोडा.

$$-29x=-87$$

दोन्ही बाजूंना -29 ने विभागा.

$$x=3$$

2y+5x=23 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2y+5\times 3=23$$

3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+15=23$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$2y=8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=3$$