{l}{3y=4x+8}{2y-8x=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$3y-4x=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y-4x=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4x जोडा.

$$3y=4x+8$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

8+4x ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{8+4x}{3} चा विकल्प वापरा, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

\frac{8+4x}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

\frac{8x}{3} ते -8x जोडा.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{16}{3} वजा करा.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{16}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{5}{16}$$

y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3} मध्ये x साठी -\frac{5}{16} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{5}{16} चा \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{3} ते -\frac{5}{12} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{9}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$3y-4x=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$3y-4x=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y आणि 2y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y-8x=16 मधून 6y-24x=21 वजा करा.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8x+24x=16-21$$

-8x ते 24x जोडा.

$$16x=16-21$$

16 ते -21 जोडा.

$$16x=-5$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$x=-\frac{5}{16}$$

2y-8x=7 मध्ये x साठी -\frac{5}{16} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

-\frac{5}{16} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{2} वजा करा.

$$2y=\frac{9}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{9}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$