{l}{3x-y=19}{2x+7y=5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y+19$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

y+19 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{19+y}{3} चा विकल्प वापरा, 2x+7y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

\frac{19+y}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

\frac{2y}{3} ते 7y जोडा.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{38}{3} वजा करा.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{23}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

-1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{19}{3} ते -\frac{1}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-2y=38 मधून 6x+21y=15 वजा करा.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-21y=38-15$$

-2y ते -21y जोडा.

$$-23y=38-15$$

38 ते -15 जोडा.

$$-23y=23$$

दोन्ही बाजूंना -23 ने विभागा.

$$y=-1$$

2x+7y=5 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

-1 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-7=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7 जोडा.

$$2x=12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-1$$