{l}{3x-y=1}{5x-3y=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 } \\ { 5 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y+1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

y+1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{1+y}{3} चा विकल्प वापरा, 5x-3y=1.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=1$$

\frac{1+y}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-3y=1$$

\frac{5y}{3} ते -3y जोडा.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{3} वजा करा.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1}{2} चा \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{1}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3-1}{4}\\\frac{5-3}{4}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3$$

सरलीकृत करा.

$$15x-5y=5,15x-9y=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-5y=5 मधून 15x-9y=3 वजा करा.

$$15x-15x-5y+9y=5-3$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5y+9y=5-3$$

-5y ते 9y जोडा.

$$4y=5-3$$

5 ते -3 जोडा.

$$4y=2$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

5x-3y=1 मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-3\times \frac{1}{2}=1$$

\frac{1}{2} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-\frac{3}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{2} जोडा.

$$5x=\frac{5}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$