{l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-8y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8y जोडा.

$$3x=8y+9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

8y+9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y}{3}+3 चा विकल्प वापरा, 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

\frac{8y}{3}+3 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

\frac{32y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{41}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{66}{41}$$

x=\frac{8}{3}y+3 मध्ये y साठी -\frac{66}{41} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{66}{41} चा \frac{8}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

3 ते -\frac{176}{41} जोडा.

$$x=-\frac{53}{41}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

3x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

सरलीकृत करा.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-32y=36 मधून 12x+9y=-30 वजा करा.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-32y-9y=36+30$$

-32y ते -9y जोडा.

$$-41y=36+30$$

36 ते 30 जोडा.

$$-41y=66$$

दोन्ही बाजूंना -41 ने विभागा.

$$y=-\frac{66}{41}$$

4x+3y=-10 मध्ये y साठी -\frac{66}{41} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

-\frac{66}{41} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{198}{41} जोडा.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-\frac{53}{41}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$