{l}{3x-8y=-12}{x+8y=-6} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = - 12 } \\ { x + 8 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$y=-\frac{3}{16}=-0.1875$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-8y=-12,x+8y=-6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-8y=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8y जोडा.

$$3x=8y-12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y-12\right)$$

8y-12 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8}{3}y-4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y}{3}-4 चा विकल्प वापरा, x+8y=-6.

$$\frac{8}{3}y-4+8y=-6$$

\frac{8y}{3} ते 8y जोडा.

$$\frac{32}{3}y-4=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$\frac{32}{3}y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{32}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{3}{16}$$

x=\frac{8}{3}y-4 मध्ये y साठी -\frac{3}{16} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{3}{16}\right)-4$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{3}{16} चा \frac{8}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{1}{2}-4$$

-4 ते -\frac{1}{2} जोडा.

$$x=-\frac{9}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{9}{2},y=-\frac{3}{16}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-8y=-12,x+8y=-6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{3\times 8-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{3\times 8-\left(-8\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-12\right)+\frac{1}{4}\left(-6\right)\\-\frac{1}{32}\left(-12\right)+\frac{3}{32}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{9}{2},y=-\frac{3}{16}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-8y=-12,x+8y=-6$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-8y=-12,3x+3\times 8y=3\left(-6\right)$$

सरलीकृत करा.

$$3x-8y=-12,3x+24y=-18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-8y=-12 मधून 3x+24y=-18 वजा करा.

$$3x-3x-8y-24y=-12+18$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-24y=-12+18$$

-8y ते -24y जोडा.

$$-32y=-12+18$$

-12 ते 18 जोडा.

$$-32y=6$$

दोन्ही बाजूंना -32 ने विभागा.

$$y=-\frac{3}{16}$$

x+8y=-6 मध्ये y साठी -\frac{3}{16} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+8\left(-\frac{3}{16}\right)=-6$$

-\frac{3}{16} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{3}{2}=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{2} जोडा.

$$x=-\frac{9}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{9}{2},y=-\frac{3}{16}$$