{l}{3x-6z=4}{x+5z=6} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 6 z = 4 } \\ { x + 5 z = 6 } \end{array} \right.$$

x, z साठी सोडवा

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$z=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-6z=4,x+5z=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-6z=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6z जोडा.

$$3x=6z+4$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(6z+4\right)$$

6z+4 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=2z+\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2z+\frac{4}{3} चा विकल्प वापरा, x+5z=6.

$$2z+\frac{4}{3}+5z=6$$

2z ते 5z जोडा.

$$7z+\frac{4}{3}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{3} वजा करा.

$$7z=\frac{14}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$z=\frac{2}{3}$$

x=2z+\frac{4}{3} मध्ये z साठी \frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\times \frac{2}{3}+\frac{4}{3}$$

\frac{2}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{3} ते \frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{3},z=\frac{2}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-6z=4,x+5z=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 5-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 5-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{21}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 4+\frac{2}{7}\times 6\\-\frac{1}{21}\times 4+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि z घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8}{3},z=\frac{2}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-6z=4,x+5z=6$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-6z=4,3x+3\times 5z=3\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$3x-6z=4,3x+15z=18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-6z=4 मधून 3x+15z=18 वजा करा.

$$3x-3x-6z-15z=4-18$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6z-15z=4-18$$

-6z ते -15z जोडा.

$$-21z=4-18$$

4 ते -18 जोडा.

$$-21z=-14$$

दोन्ही बाजूंना -21 ने विभागा.

$$z=\frac{2}{3}$$

x+5z=6 मध्ये z साठी \frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+5\times \frac{2}{3}=6$$

\frac{2}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{10}{3}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{10}{3} वजा करा.

$$x=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{3},z=\frac{2}{3}$$